Einleitung 19 Über dieses Buch 19
Konventionen in diesem Buch 20
Törichte Annahmen über den Leser 20
Wie dieses Buch strukturiert ist 21
Teil I: Grundlegende Lösungsansätze 21
Teil II: Die ganze Wahrheit über Funktionen 22
Teil III: Der ewige Kampf mit Kegelschnitten und Gleichungssystemen 22
Teil IV: Fortgeschrittene Konzepte – die Turbozuschaltung 22
Teil V: Der Top-Ten-Teil 22
Die Symbole in diesem Buch 23
Wie es weitergeht 24
Teil I
Grundlegende Lösungsansätze 25
Kapitel 1
Am Anfang stand … die Algebra 27
Algebraische Eigenschaften – eine Skizze 28
Bewahren Sie Ordnung – mit dem Kommutativgesetz 28
Harmonie in der Gruppe – mit dem Assoziativgesetz 28
Das Distributivgesetz – Werte verteilen 29
Eine algebraische Identität 30
Die Sache mit den Inversen 31
Bringen Sie Ihre Operationen in die richtige Reihenfolge! 31
Rüsten Sie sich – mit der Multiplikationseigenschaft der Null 32
Weiter zu den Exponentialregeln 33
Exponenten multiplizieren und dividieren 33
Hinunter zu den Wurzeln der Exponenten 33
Wurzeln ziehen, um die Potenz zu verändern 34
Der freundliche Umgang mit negativen Exponenten 35
Faktorisierungstechniken implementieren 35
Zwei Terme faktorisieren 35
Und jetzt mit drei Termen 36
Vier oder mehr Terme durch Gruppierung faktorisieren 40
Kapitel 2
Der gerade Weg: Lineare Gleichungen 43
Lineare Gleichungen: Der erste Grad 43
Der Umgang mit grundlegenden linearen Gleichungen 44
Brüche entfernen 45
Unterschiedliche Unbekannte isolieren 45
Lineare Ungleichungen: Beziehungstherapie in der Algebra 47
Grundlegende Ungleichungen lösen 48
Einführung der Intervallnotation 49
Zusammengesetzte Ungleichungen 50
Absolutwerte – Absolut! 51
Absolutwertgleichungen lösen 52
Weiter mit den Absolutwertungleichungen 53
Kapitel 3
Quadratische Gleichungen knacken 57
Einfache quadratische Gleichungen mit der Quadratwurzelregel lösen 58
Einfache Quadratwurzellösungen finden 58
Quadratwurzellösungen erzwingen 58
Quadratische Gleichungen in Faktoren zerlegen 59
Binome faktorisieren 59
Trinome faktorisieren 61
Faktorisieren durch Gruppieren 62
Der Ausweg über die Quadratformel 63
Irrationale Lösungen ausbügeln 64
Große quadratische Ergebnisse formulieren 65
Vervollständigen wir das Quadrat: Die Vorbereitung auf Kegelschnitte 66
Quadrieren, um eine quadratische Gleichung zu lösen 67
Das Quadrat zweimal vervollständigen 68
Und jetzt zu höher potenzierten Quadraten 69
Summen oder Differenzen von Kubikausdrücken 70
Quadratartige Trinome 71
Quadratische Ungleichungen lösen 72
Bleiben wir beim Quadratischen! 73
Und jetzt zu den Brüchen 74
Wir steigern die Anzahl der Faktoren 75
Kapitel 4
Weg mit Wurzeln, Brüchen und allem Negativem! 77
Bleiben Sie bei Gleichungen mit Brüchen rational! 77
Der kgN gegen rationale Gleichungen 78
Rationale Gleichungen mit Proportionen lösen 82
Machen Sie sich frei von Wurzeln! 85
Beide Seiten einer Wurzelgleichung quadrieren 86
Zwei Wurzeln ausgleichen 87
Keine Vorurteile gegenüber Exponenten! 89
Negative Exponenten werden rausgeschubst! 89
Negative faktorisieren, um Gleichungen zu lösen 90
Die Fummelei mit Bruchexponenten 93
Terme mit Bruchexponenten zusammenfassen 93
Bruchexponenten faktorisieren 93
Gleichungen durch Anwendung von Bruchexponenten lösen 94
Kapitel 5
Mit Graphen ins Glück 97
Koordinierte Arbeit mit Graphen! 97
Die Bestandeile der Koordinatenebene 98
Von Punkt zu Punkt 99
Mit Schnittpunkten und Symmetrien einfache Graphen zeichnen 100
x- und y-Schnittpunkte finden 100
Über die Symmetrie eines Graphen… 101
Geraden zeichnen 104
Die Steigung einer Geraden ermitteln 104
Zwei Arten von Geradengleichungen 105
Parallele und senkrecht aufeinanderstehende Geraden identifizieren 108
Die zehn grundlegenden Formen 109
Geraden und quadratische Ausdrücke 109
Kubik- und biquadratische Ausdrücke 110
Wurzeln und rationale Ausdrücke 111
Exponential- und logarithmische Kurven 112
Absolutwerte und Kreise 112
Aufgaben mit einem grafischen Taschenrechner lösen 113
Gleichungen korrekt in grafische Taschenrechner eingeben 113
Das Zeichenfenster 115
Teil II
Die ganze Wahrheit über Funktionen 117
Kapitel 6
Funktionen – die Fakten 119
Funktionen definieren 119
Die Funktionsnotation 120
Funktionen auswerten 120
Was es mit Definitions- und Wertebereich auf sich hat 121
Den Definitionsbereich einer Funktion bestimmen 121
Den Wertebereich einer Funktion beschreiben 122
Gerade und ungerade Funktionen 123
Gerade und ungerade Funktionen erkennen 124
Die Graphen gerader und ungerader Funktionen 125
1:1-Gegenüberstellungen 125
1:1-Funktionen – eine Definition 126
1:1-Verletzungen eliminieren 126
Stückweise mit stückweisen Funktionen arbeiten 128
Stückwerk 128
Stückweise Funktionen anwenden 129
Sammeln Sie sich – und setzen Sie die Funktionen zusammen 131
Verknüpfungen 131
Den Differenzquotienten vereinfachen 132
Viel Spaß mit inversen Funktionen 133
Feststellen, ob Funktionen Inverse sind 133
Nach den Inversen einer Funktion auflösen 134
Kapitel 7
Quadratische Funktionen skizzieren und interpretieren 137
Die Standardform quadratischer Gleichungen interpretieren 137
Wir beginnen mit dem »a« der Standardform 138
Weiter geht’s mit »b« und »c« 139
Schnittpunkte in quadratischen Gleichungen untersuchen 139
Den einzigen y-Schnittpunkt finden 140
Die x-Schnittpunkte finden 141
Zu den Extremen: Den Scheitelpunkt finden 144
Immer der Symmetrieachse nach 145
Aus der verfügbaren Information einen Graphen skizzieren 146
Quadratische Funktionen im wirklichen Leben 148
Kerzen verkaufen 148
Körbe werfen 149
Wasserbomben werfen 151
Kapitel 8
Wir bleiben bei den Kurven: Polynome 153
Die Standard-Polynomform 153
Die Schnittpunkte und Wendepunkte von Polynomen 154
Relative Werte und absolute Werte interpretieren 154
Schnittpunkte und Wendepunkte zählen 155
Nach Polynom-Schnittpunkten auflösen 157
Positive und negative Intervalle bestimmen 158
Eine Vorzeichenzeile verwenden 158
Die Vorschrift interpretieren 160
Die Lösungen eines Polynoms finden 161
Nach Polynom-Lösungen faktorisieren 161
Bleiben Sie ruhig: Der Satz zur Bestimmung rationaler Nullstellen 164
Lassen Sie sich von Descartes mit den Vorzeichen helfen 167
Der synthetische Lösungsansatz 169
Mit Hilfe der synthetischen Division Lösungen suchen 169
Synthetisch durch ein Binom dividieren 172
Der Restsatz 172
Kapitel 9
Vom Verstand geleitet: Rationale Funktionen 175
Rationale Funktionen erkunden 175
Definitionsbereiche erweitern 176
Schnittpunkte einführen 176
Asymptoten für das Rationale 177
Die Gleichungen vertikaler Asymptoten bestimmen 178
Die Gleichungen horizontaler Asymptoten bestimmen 178
Vertikale und horizontale Asymptoten in Graphen eintragen 179
Zahlen knacken und schräge Asymptoten zeichnen 180
Entfernbare Unstetigkeiten 181
Entfernen durch Faktorisieren 182
Die Einschränkungen für das Entfernen 182
Entfernbare Unstetigkeiten in einem Graphen zeigen 182
Die Grenzen rationaler Funktionen verschieben 184
Grenzwerte und Unstetigkeiten auswerten 185
Hin zur Unendlichkeit 187
Rationale Grenzwerte im Unendlichen erwischen 189
Und jetzt alles zusammen: Rationale Graphen
nach den gesammelten Hinweisen skizzieren 190
Kapitel 10
Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen 193
Exponentialausdrücke auswerten 193
Exponentialfunktionen: Auf die Basis kommt es an! 194
Die Trends der Basis beobachten 194
Die häufigsten Basen: 10 unde 196
Exponentialgleichungen lösen 197
Die Basis muss stimmen 198
Quadratische Muster erkennen und nutzen 200
Exponentialfunktionen und der Zins 201
Die Zinseszinsformel anwenden 201
Stetiger Zinseszins 204
Logarithmische Funktionen 204
Die Eigenschaften von Logarithmen 205
Logarithmen in der Praxis 206
Logarithmische Gleichungen lösen 208
Log gleich Log setzen 209
Logarithmische Gleichungen in Exponentialgleichungen umformen 210
Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen grafisch darstellen 211
Die Exponentialfunktion und ihr Graph 211
Steigen oder Fallen erkennen 211
Die Logarithmen vor lauter Bäumen nicht sehen 213
Teil III
Der ewige Kampf mit Kegelschnitten
und Gleichungssystemen 217
Kapitel 11
Kegelschnitte aufschneiden 219
Einen Kegel aufschneiden 219
Alles ist offen – mit Parabeln 220
Parabeln mit dem Scheitelpunkt im Ursprung 221
Die allgemeine Form von Parabelgleichungen 224
Die Graphen von Parabeln skizzieren 225
Parabolische Gleichungen in die Standardform bringen 227
Der Kreis im Kegelschnitt 228
Den Kreis standardisieren 229
Spezielle Kreise 230
Ellipsen und ihre Besonderheiten 231
Standards einer Ellipse 231
Eine elliptische Bahn skizzieren 234
Der ganze Hype mit den Hyperbeln 235
Die Asymptoten sind auch noch da! 236
Hyperbeln zeichnen 237
An ihren Gleichungen sollt ihr sie erkennen –
Kegelschnitte, die dem Standard entsprechen (oder nicht) 239
Kapitel 12
Lineare Gleichungssysteme lösen 241
Die Standardform linearer Systeme und ihre möglichen Lösungen 241
Grafische Lösung von linearen Systemen 242
Den Schnittpunkt bestimmen 242
Zweimal dieselbe Gerade 243
Parallele Geraden 244
Systeme zweier linearer Gleichungen durch Addition eliminieren 245
Einen Eliminationspunkt finden 245
Lösungen für parallele und identische Geraden 247
Systeme mit zwei linearen Gleichungen durch Einsetzen lösen 247
Variablen einsetzen – leicht gemacht 248
Parallele und identische Geraden erkennen 249
Mit der Cramer’schen Regel unhandliche Brüche bekämpfen 250
Das lineare Gleichungssystem für Cramer vorbereiten 251
Anwendung der Cramer’schen Regel auf ein lineares System 252
Lineare Systeme auf drei lineare Gleichungen steigern 253
Systeme mit drei Gleichungen mit Hilfe der Algebra lösen 253
Eine verallgemeinerte Lösung für Linearkombinationen einrichten 255
Wir steigern die Gleichungen noch weiter 256
Lineare Systeme in der Praxis 258
Mit Hilfe von Systemen Brüche zerlegen 259
Kapitel 13
Systeme nicht linearer Gleichungen und Ungleichungen lösen 263
Parabeln mit Geraden kreuzen 263
Die Punkte bestimmen, an denen sich Gerade und Parabel kreuzen 264
Eine Lösung, die keine Lösung ist 266
Sich schneidende Parabeln und Kreise 267
Mehrere Schnittpunkte 268
Die Lösungen aussortieren 270
Ein Angriff auf andere Gleichungssysteme 271
Polynome und Geraden kombinieren 272
Polynome kreuzen 273
Exponentielle Schnittpunkte finden 274
Und jetzt zu den rationalen Funktionen 276
Faires Spiel mit Ungleichungen 279
Ungleichungen zeichnen und zuordnen 280
Bereiche aus Kurven und Geraden zeichnen 280
Teil IV
Fortgeschrittene Konzepte – die Turbozuschaltung 283
Kapitel 14
Komplexe Zahlen in einer komplexen Welt vereinfachen 285
Mit Imagination Potenzen von i vereinfachen 286
Die Komplexität komplexer Zahlen 287
Operationen mit komplexen Zahlen 287
Komplexe Zahlen addieren 288
Komplexe Zahlen subtrahieren 288
Komplexe Zahlen multiplizieren 288
Mit der konjugierten Form multiplizieren, um zu dividieren 289
Wurzeln vereinfachen 291
Quadratische Gleichungen mit komplexen Lösungen 291
Polynome mit komplexen Lösungen 293
Konjugierte Paare erkennen 294
Komplexe Lösungen interpretieren 294
Kapitel 15
Matrizen machen Spaß 297
Die verschiedenen Matrizentypen 297
Zeilen- und Spaltenmatrizen 298
Quadratische Matrizen 298
Null-Matrizen 299
Identitätsmatrizen 299
Operationen für Matrizen durchführen 299
Matrizen addieren und subtrahieren 300
Matrizen mit Skalaren multiplizieren 301
Zwei Matrizen multiplizieren 301
Matrizen und Operationen anwenden 303
Zeilenoperationen definieren 306
Inverse Matrizen finden 308
Additive Inverse bestimmen 308
Multiplikative Inverse bestimmen 309
Matrizen mit Hilfe von Inversen dividieren 314
Mit Matrizen Gleichungssysteme lösen 314
Kapitel 16
Ein Leben mit Listen: Folgen und Reihen 317
Die Terminologie der Folgen 317
Die Notation der Folge 318
Die Fakultät in Folgen 318
Alternierende Folgenmuster 319
Muster in Folgen 320
Arithmetische und geometrische Folgen 322
Gemeinsame Grundlagen: Arithmetische Folgen 322
Der multiplikative Ansatz: Geometrische Folgen 324
Rekursiv definierte Funktionen 326
Und jetzt zu den Reihen 327
Die Notation für die Summenbildung 327
Arithmetische Summenbildung 328
Geometrische Summenbildung 329
Summen von Folgen in der realen Welt 331
Klar Schiff im Amphitheater 331
Taschengeldverhandlungen 332
Ein Ballwurf 333
Spezielle Formeln 334
Kapitel 17
Was Sie schon immer über Mengen wissen wollten 337
Die Mengennotation 337
Elemente in einer Liste aufführen 337
Mengen von Grund auf erstellen 338
Alles (Universalmenge) oder nichts (leere Menge) 338
Und jetzt die Untermengen 339
Mengenoperationen 341
Zwei Mengen vereinigen 341
Schnittmengen 342
Komplementärmengen 342
Elemente in Mengen zählen 343
Venn-Diagramme 343
Das Venn-Diagramm anwenden 344
Venn-Diagramme für Mengenoperationen nutzen 345
Einem Venn-Diagramm eine Menge hinzufügen 347
Fakultäten 349
Fakultäten im Griff! 349
Fakultäten vereinfachen 350
Wie ich dich liebe? Lass mich zählen, wie ... 351
Den Multiplikationssatz auf Mengen anwenden 351
Permutationen von Mengen 352
Mengen durch Kombinationen kombinieren 356
Baumdiagramme wachsen lassen 357
Ein Baumdiagramm für eine Permutation malen 357
Ein Baumdiagramm für eine Kombination zeichnen 358
Teil V
Der Top-Ten-Teil 361
Kapitel 18
Zehn Tricks für die Multiplikation 363
Zahlen quadrieren, die mit 5 enden 363
Das nächste perfekte Quadrat finden 364
Das Muster in Vielfachen von 9 erkennen 364
9er raus! 364
9en raus: Jetzt bei der Multiplikation 365
Mit 11 multiplizieren 366
Mit 5 multiplizieren 367
Gemeinsame Nenner finden 367
Teiler bestimmen 367
Zweistellige Zahlen multiplizieren 368
Kapitel 19
Zehn spezielle Zahlentypen 369
Dreieckszahlen 369
Quadratzahlen 369
Sechseckzahlen 370
Perfekte Zahlen 370
Befreundete Zahlen 370
Glückliche Zahlen 371
Abundante Zahlen 371
Defiziente Zahlen 371
Narzisstische Zahlen 371
Primzahlen 372
Stichwortverzeichnis 373
